Sinu brauser on natuke ajast maha jäänud. Et kõik töötaks, nagu vaja, palun uuenda enda brauserit.
Küpsised aitavad meil teenuseid edastada. Meie teenuseid kasutades nõustute sellega, et kasutame küpsiseid. ROHKEM INFOT >
Postimees 160 Juubeli puhul loe seda lugu tasuta!

Tänapäeva tehnoloogia ja suurte avastuste alustala: lainikud

KOMMENTEERI PRINDI ARTIKKEL
Ülo Lepik Tartu Ülikooli emeriitprofessor (alates 1996) Sündinud 11. juulil 1921 Tartus | FOTO: Eesti Teaduste Akadeemia

On vähe näiteid matemaatiliste avastuste kohta, mis on mõjutanud ühiskonda otseselt nii palju kui lainikud. Kuigi praeguseks teavad sellest tõenäoliselt vaid vähesed matemaatika-, loodusteaduste ja signaalitöötluse spetsialistid, on selle sõna taga peituv tehnoloogia kas juba kasutusel või võetakse varsti tarvitusele praktiliselt kõigil elualadel. Lainikud selgitab lahti akadeemik Ülo Lepik.

Kohe kui sai teatavaks, et tänavuse Abeli preemia sai prantsuse matemaatik Yves Meyer teed rajavate uurimuste eest lainikute matemaatilises teoorias, kommenteeris seda pikemalt ka ajakiri Nature. Teatavasti Alfred Nobel ei näinud oma testamendis ette preemiat matemaatiliste uurimuste eest. Seda lünka on hiljem püütud täita mitmeti. Esimene Abeli preemia anti välja 2002. aastal ning preemiad annab üle Norra kuningas.

Termin «lainik» on eesti keeles uus sõna. Kuigi praeguseks teavad sellest tõenäoliselt vaid vähesed matemaatika-, loodusteaduste ja signaalitöötluse spetsialistid, on selle sõna taga peituv tehnoloogia kas juba kasutusel või võetakse varsti tarvitusele praktiliselt kõigil elualadel. Puutume sageli kokku ajas muutuvate protsessidega, nagu meteoroloogilised nähtused, maavärinad, aparaatide ja ehituste võnkumised, merelainetus, südametegevus ja palju muud. Nende mitmesuguste parameetrite (sh vaatluste tulemuste) salvestust nimetatakse aegjadaks ehk vahel lihtsalt signaaliks. Need andmekogumid on sageli väga mahukad, sisaldavad segavat müra ning neist järelduste tegemiseks tuleb neid matemaatiliselt töödelda.

Lainikud aitavad koondada ja laiali lahutada

Üheks enim tuntud andmekogumite töötlemisviisiks on prantsuse matemaatiku Jean Fourier’ 1807. aastal esitatud meetod. Fourier eeldas, et vaadeldav protsess koosneb mitmesuguse sagedusega harmoonilistest võnkumistest, teisisõnu kujutab see endast erineva sageduse, suunaga või perfektsete siinuslainete summat. Tema loodud teisendus võimaldab ka äärmiselt keerukad protsessid üksikuteks komponentideks lahutada ning arvutada kõigi komponentide sagedused ja amplituudid, andes sellega olulist informatsiooni protsessi olemusest. Fourier’ meetod on osutunud väga oluliseks abivahendiks ja on kasutusel tänapäevalgi paljudes teadusharudes.

Paljudele eelistele vaatamata on Fourier’ meetodil üks oluline puudus: see ei võimalda analüüsida protsessi ajalist kulgu. Toome näite muusikast. Iga helitöö koosneb nootidest. Kui me viiksime läbi Fourier’ analüüsi, saaksime eri kõrgusega nootide sagedustabeli. Meil puuduksid aga igasugused andmed nende nootide ajalisest järjestusest ja iga noodi pikkusest; seega ei oleks võimalik meloodiat ennast taas luua.

Lahenduse leidmiseks läks peaaegu kakssada aastat. Mitmetest ettepanekutest jäi silma prantsuse geofüüsiku Jean Morleti 1981. aastal ilmunud töö. Lähtude eeldustest, tõi ta sisse teatava lühikese kestusega idealiseeritud signaali. Ta nimetas selle ondulett’iks. Ingliskeelseks nimetuseks kujunes wavelet, mille eestikeelse vastena oleme kasutanud terminit lainik. Nii nagu arvuti emapaneelile saab monteerida mitmesuguseid seadmeid, modifitseeris Morlet seda nn emalainikut kahe parameetri abil. Üks neist muutis lainiku laiust (aegjadade puhul pikkust), teine lainiku asukohta ajateljel. Joonisel näidatud lainik on äravahetamiseni sarnane näiteks kiirlaevalainete kõrgeimate lainete kujuga: vaiksel merel saabub vahel ootamatult kaks-kolm kõrget lainet.

Eri laiusega lainikuid salvestatud signaaliga võrreldes õnnestub määratleda nii protsessi komponentide sagedus, amplituud kui ka ajahetk, mil mingi spetsiifiline signaal kohale jõudis. Sellist toimimisviisi nimetatakse matemaatikas analüüsitava funktsiooni ritta arendamiseks lainikute pere järgi.

Lainikutel on ühiskonnale tohutu mõju

Aasta hiljem (1982) tutvub Morleti artikliga prantsuse matemaatik Yves Meyer. Ta on sellest vaimustatud ja sõidab esimese rongiga Morleti töökohta Marseilles’s. Pärast tutvumist Morleti ja tema kolleegide töödega otsustab ta oma uurimissuunda muuta ja pühenduda täielikult lainikutele. «Algas minu teine teaduslik elu,» ütleb ta ise. Koos oma kolleegide Coifmani, Daubechies’ga, Mallat’ga töötab ta välja lainikute matemaatilise teooria ja rakendab seda mitmete praktiliste ülesannete lahendamiseks. Nüüd hakatakse lainikuid uurima mitmetes teaduskeskustes. Üha enam leitakse uusi rakendusvõimalusi. «On vähe näiteid matemaatiliste avastuste kohta, mis on mõjutanud ühiskonda otseselt nii palju,» ütleb Meyeri kolleeg J.-M. Morel.

Tänapäeval on lainikud leidnud rakendamist väga mitmesugustes valdkondades. Lisaks signaalide töötlemiselele ja võrrandite lahendamisele leiavad lainikud veel palju kasutust. Toome veel mõned, enam-vähem juhuslikult valitud näited.

Andmete mahu vähendamine. Tänapäeval puutume kokku väga mahukate andmestikkudega. Näiteks USA Föderaalses Juurdlusbüroos säilitatakse 30 miljonit komplekti sõrmejälgi. Selle informatsiooni arvutisse sisestamine nõuaks 200 terabaiti arvutimälu ja maksaks umbes 200 miljonit dollarit. Lainikute abil osutus võimalikuks andmeid tulemusi moonutamata oluliselt kokku suruda.

Müra eemaldamine. Lainikute abil saab audio- ja fotosalvestitelt eemaldada juhuslikke häiritusi ja tõsta sel viisil oluliselt salvestuse kvaliteeti.

Gravitatsioonilained. 2015. aastal tuvastasid astronoomid kahe musta augu põrkumisel tekkivad lained. Vaatlusmaterjali töötlemiseks kasutati lainikuid.

Lainikute olulisust tänapäeval näitab ka lainikuid käsitlevate publikatsioonide suur arv. Andmebaasi Science Direct andmetel oli märtsis 2017 niisuguseid töid 54 577.

Castelvecchi D. 2017. Wavelets scoop maths prize. Yves Meyer wins the Abel Prize for role in theory with multiple applications in data analysis. Nature, 543(7646), 476–477,

http://www.nature.com/news/wavelet-revolution-pioneer-scoops-top-maths-award-1.21691

Täiendavaid andmeid Haari lainikute kohta vt Ü. Lepik, H. Hein «Haar Wavelets with Applications» (Springer 2014).

Tagasi üles